Weitere Endstellen- und Quersummenregeln

Zur Begründung von Teilbarkeitsregeln verwendet man häufig die folgenden Sätze¹

¹ Du kennst diese beiden Sätze schon vom Arbeitsblatt „Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln: Wiederholung“

Endstellenregeln

Die Regeln zur Teilbarkeit durch 2, 5 und 10 sind sogenannte Endstellenregeln. Hier musst du nur die letzte Ziffer betrachten, um die entsprechende Teilbarkeit für eine beliebig große Zahl zu prüfen. Es gibt aber auch Endstellenregeln, die sich nicht auf die letzte Ziffer, sondern auf die letzten zwei, drei, … Ziffern beziehen.

Aufträge in Stillarbeit:

1. Begründe die 5er-Regel.

   Es liegen Hilfekärtchen bereit, wenn du nicht weiterkommst.

2. Formuliere die Endstellenregel zur Teilbarkeit durch 100 und begründe sie.

3. Auch die Teilbarkeit durch 4 lässt sich mithilfe einer Endstellenregel, die auf den letzten beiden Ziffern beruht, prüfen. Formuliere und begründe sie.

4. Finde die Regel zur Teilbarkeit durch 8, formuliere und *begründe sie.

Quersummenregeln

Die Begründung für die Teilbarkeiten mit Quersummenregeln lassen sich am besten an Beispielen durchführen. Wichtig dabei ist es, dass die Vorgehensweise allgemeingültig ist, d.h. an jeder Zahl möglich wäre, also nicht nur am gewählten Beispiel.

1. Ihr erhaltet eine Begründung für die 9er-Regel.

   a.) Lest die Regel durch und besprecht sie so, dass ihr jeden Schritt erklären könnt.

   b.) Begründet die 3er-Regel auf die gleiche Art.

2. Für die Teilbarkeit durch 11 gibt es eine sogenannte „alternierende Quersummenregel“. Dazu zieht man von der Quersumme aus allen Ziffern, die an einer ungeraden Stelle stehen, die Quersumme aus allen Ziffern an geraden Stellen ab. Zum Beispiel betrachtet man für die Zahl 645 738 die Differenz von 4 + 7 + 8 und 6 + 5 + 3.

   a.) Führt dies für viele Zahlen durch – sowohl durch 11 teilbare, als auch nicht durch 11 teilbare (WTR ist dabei erlaubt). Betrachtet die so gebildeten Differenzen und stellt eine Regel für die Teilbarkeit durch 11 auf.

   b.) Gebt euch gegenseitig Zahlen vor, die ihr auf die Teilbarkeit durch 11 mit eurer Regel prüft und kontrolliert dann mit dem WTR.

   c.)* Es gilt: 10=11−1, 100=99+1=9·11+1, 1000=1001−1=91·11−1, 10000=9999+1=909·11+1 . Begründet die Teilbarkeitsregel aus a.) mithilfe der Sätze 1 und 2 an geeigneten Aufspaltungen mit den Beispielzahlen 90981 und 53211.

Aufgabe 1, Hilfekärtchen 1:

Bei jeder mehrstelligen Zahl kann man die Einerstelle durch Summenbildung abspalten, z.B.

344 = 340 + 4

425 = 420 + 5

716 = 710 + 6

usw.

Aufgabe 1, Hilfekärtchen 2:

Betrachte die so erhaltenen Summen genauer, (z.B. die von Hilfekärtchen 1) Was kannst du über die Teilbarkeit durch 5 des ersten Summanden sagen? Begründe deine Aussage mithilfe von Satz 2. Welche Aussage folgt dann mithilfe von Satz 1 anhand des zweiten Summanden?

Aufgabe 1, Hilfekärtchen 3:

Betrachte weiterhin die so erhaltenen Summen. Der vordere Summand lässt sich immer als Produkt mit der Zahl 5 schreiben, z.B. 340 = 34 · 10 = 34 · 2 · 5 = 68 · 5, laut Satz 2 ist er also stets durch 5 teilbar. Der hintere Summand kann durch 5 teilbar sein. Was folgt dann mit Satz 1? Und wenn er nicht durch 5 teilbar ist, welche Aussage lässt Satz 1 dann zu? Mehr Möglichkeiten gibt es aber nicht – das war schon alles.

Zu Aufgabe 5.: Begründung der Quersummenregel „Teilbarkeit durch 9“ am Beispiel 4257

Wenn wir die Teilbarkeit der Zahl 4257 durch 9 prüfen möchten, dann können wirsie folgendermaßen umformen:

4257 = 4 · 1000 + 2 · 100 + 5 · 10 + 7.

Das hilft noch nicht ganz, lässt sich aber noch weiter umformen:

4257 = 4 · (999 + 1) + 2 ·(99 + 1)+ 5 ·(9 + 1) + 7, bzw.

4257 = 4 · 999 + 4 · 1 + 2 · 99 + 2 · 1 + 5 · 9 + 5 · 1 + 7

= 4 · 999+2·99+5·9+4+2+5+7

= (4 · 999 + 2 · 99 + 5 · 9) + (4 + 2 + 5 + 7)

Jeder Summand in der vorderen Klammer ist wegen Satz 2 durch 9 teilbar.

Mit Satz 1a folgt dann, dass die Summe in der vorderen Klammer eine durch 9teilbare Zahl ergibt

Somit folgt aus Satz 1 (a und b), dass die Summe aus beiden Klammern durch 9 teilbar ist, wenn die hintere Klammer durch 9 teilbar ist und dass sie nicht durch 9 teilbar ist, wenn die hintere Klammer nicht durch 9 teilbar ist. Die hintere Klammerist aber genau die Quersumme der Zahl, dies liefert die Quersummenregel.

Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln: Herunterladen [odt][390 KB]

Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln: Herunterladen [pdf][160 KB]

Weiter zu Summen und Produkte