Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln: Summen und Produkte

Quelle: ZGP IMP

Die Teilbarkeitsregel zum Teiler 6 ist eigentlich keine eigene Regel, sondern nutzt aus, dass in der 6 die Teiler 2 und 3 „versteckt“ sind. Solche Verstecke wecken natürlich das Interesse unserer Agenten. Leider sind aber nicht alle in dieser Art gebildeten Aussagen richtig. Kannst du ihnen helfen, die richtigen Aussagen herauszufinden?

Deine Aufträge:

a.) Von den folgenden Aussagen sind manche richtig, manche falsch. Widerlege jede der falschen Aussagen durch ein Gegenbeispiel.

A. Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.

B. Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 4 teilbar ist.

C. Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.

D. Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 6 teilbar ist.

E. Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 6 teilbar ist.

F. Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.

G. Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie durch 6 und durch 5 teilbar ist.

H. Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie durch 10 und durch 3 teilbar ist.

b.) Betrachte die übrigen, richtigen Aussagen und vergleiche sie mit den falschen. Beschreibe, in welchen Fällen diese Art von Regelsystematik funktioniert.

c.)* Die richtigen Regeln aus a.) kannst du nun verwenden. Beschreibe mit ihrer Hilfe weitere Regeln, zum Beispiel für die Teilbarkeit durch 60 .
Von einer Zahl x ist nur bekannt, dass sie durch 24 teilbar ist. Welche anderen Teiler von x kannst du daraus ableiten? Schreibe so viele wie möglich auf.

Quelle: ZPG IMP

a.) Agent Mü kennt eine schöne Primzahl: Die 102 356 789. Wenn man diese rückwärts betrachtet, ergibt sich ebenfalls eine Primzahl, nämlich 987 653 201. Solche Zahlen nennt man MIRP-Zahlen – weshalb wohl¹? Aber Agent Mü hat ein ganz anderes Problem: Er hat 102 356 789 mit 18 multipliziert und das Ergebnis aufgeschrieben. Leider fehlt die letzte Ziffer auf seinem Blatt. Agentin Nü hat zwar keinen Taschenrechner zur Hand, aber eine Idee: „Wir wissen doch, dass eine Zahl die durch 18 teilbar ist, sowohl durch 2, als auch durch 9 teilbar ist. Damit ist die Sache doch klar.“ Was meint sie damit? Erkläre ihre Idee und führe sie durch, um die letzte Ziffer zu bestimmen. Die Zahl lautet – bis auf die letzte Ziffer – 1 842 422 20_ .

b.) Wieder ist die letzte Ziffer verloren gegangen. Dieses Mal wurde 2³⁶ berechnet. Bekannt ist nur noch: 2³⁶ = 6871947673x. Welche der Ziffern 0 bis 9 kann x sein und welche nicht? Begründe.

c.)* Die Multiplikation aller natürlichen Zahlen von einer Startzahl n absteigend bis zur 1 nennt man Fakultät und kürzt sie mit n! ab (sprich:“ n Fakultät“). Zum Beispiel ist . Diese Zahlen werden schnell groß (z.B. 12! = 479 001 600). Ein WTR kann die Stellen schon bald nicht mehr vollständig anzeigen² . Finde dennoch die fehlenden Ziffern x und y der folgenden Gleichung heraus und erkläre deinen Lösungsweg:

35! = 10 333 147 966 386 1x4 929 666 651 337 523 200 000 y00

¹ Es gibt auch deutlich kleinere Mirp-Zahlen, z.B. die 13 ↔ 31. Im Internet kannst du noch mehr davon finden.

² Teste dies - auf den meisten Taschenrechnermodellen befindet sich die Fakultät-Funktion entweder direkt als Tastenbelegung oder in einem Menüunterpunkt, häufig mit ! oder x! oder fac abgekürzt.

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