Kopfrechentricks 4: Quadratzahlen berechnen

So geht der Rechentrick

Auf folgende Weise kannst du das Quadrat einer natürlichen Zahl a berechnen:

Suche eine kleine Zahl x, so dass a − x oder a + x eine durch Zehn oder Hundert teilbare Zahl ist. Berechne (a − x) · (a + x). Addiere zum Ergebnis x² und du erhältst a².

Beispiele

Um das Quadrat von a = 23 zu berechnen, wählen wir x = 3.

Damit ist

$(a-x)·(a+x)=(23-3)·(23+3)=20·26=520$

Und

$a^2={23}^2=520+x^2=520+3^2=520+9=529$

Für 98² wählen wir x = 2 und erhalten

${98}^2=(98-2)·(98+2)+2^2=96·100+4=9604$

Nutze den Rechentrick und berechne:

1. 19²

2. 24²

3. 31²

4. 47²

5. 75²

6. 97²

7. 104²

8. 52²

9. 26²

10. 85²

11. 56²

12. 93²

13. 996²

14. 1012²

Begründe den Rechentrick

Gib einen Term an, mit dem du laut Rechentrick das Quadrat von a berechnest, und zeige, dass er gleichwertig zu a² ist.

Lösungen

Lösungen – Nutze den Rechentrick

1. ${19}^2=(19-1)·(19+1)+1^2=18·20+1=361$
2. ${24}^2=(24-4)·(24+4)+4^2=20·28+16=576$
3. ${31}^2=(31-1)·(31+1)+1^2=30·32+1=961$
4. ${47}^2=(47-3)·(47+3)+3^2=44·50+9=2209$
5. ${75}^2=(75-5)·(75+5)+5^2=70·80+25=5625$
6. ${97}^2=(97-3)·(97+3)+3^2=94·100+9=9409$
7. ${104}^2=(104-4)·(104+4)+4^2=100·108+16=10816$
8. ${52}^2=(52-2)·(52+2)+2^2=50·54+4=2704$
9. ${26}^2=(26-4)·(26+4)+4^2=22·30+16=676$
10. ${85}^2=(85-5)·(85+5)+5^2=80·90+25=7225$
11. ${56}^2=(56-6)·(56+6)+6^2=50·62+36=3136$
12. ${93}^2=(93-7)·(93+7)+7^2=86·100+49=8649$
13. ${996}^2=(996-4)·(996+4)+4^2=992·1000+16=992016$
14. ${1012}^2=(1012-12)·(1012+12)+{12}^2=1000·1024+144=1024144$

Begründe den Rechentrick

Um a² zu berechnen, verwenden wir den Term

$(a-x)·(a+x)+x^2$

Mit Hilfe der 3. Binomischen Formel folgt die Gleichheit:

$(a-x)·(a+x)+x^2=a^2-x^2+x^2=a^2$

Didaktischer Kommentar

• Klasse: 8
• Bezug zum Bildungsplan: ZVO
• Art der Aufgabe: Herausfordernd, Enrichment

Hinweise zum Einsatz im Unterricht

Dieser Kopfrechentrick kann schon in Klasse 5 verwendet werden (Bildungsplan 2016: 3.1.1(11)). Mit seiner Hilfe können auch Quadratzahlen von 11² bis 19² schnell berechnet werden (Bildungsplan 2016: 3.1.1(14)). Die allgemeine Begründung mit Hilfe von Umformungen von Termen mit Variablen ist erst in Klasse 8 möglich (Bildungsplan 2016: 3.2.1(8)).