Kombinatorik mit dem Binomialkoeffizient

1. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten vier Spieler in eine Zweiergruppe, die Tennis spielt, und eine Zweiergruppe, die Badminton spielt, aufzuteilen.
2. Zeige, dass es genau drei Möglichkeiten gibt, vier Spieler in zwei Zweiergruppe, die beide Tennis spielen aufzuteilen.
3. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten neun Spieler in drei Zweiergruppen und eine Dreiergruppe aufzuteilen.
4. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten 22 Fußballspielerinnen in zwei Mannschaften mit je 11 Spielerinnen aufzuteilen.

Lösung

1. Bezeichnet man die Spieler mit A, B, C und D so gibt es folgende sechs Möglichkeiten für die Aufteilung.

   

   Rechnerisch erhält man das Ergebnis, indem man zwei Spieler aus den vier Spielern (mit einem Griff) auswählt. Die zweite Gruppe ergibt sich dann automatisch.

2. Spielen beide Gruppen Tennis, so sind die beiden Zweiergruppen nicht mehr unterscheidbar.

   

   Von den sechs Möglichkeiten sind jeweils zwei identisch. Es gibt daher nur noch drei Möglichkeiten.

3. Um die Dreiergruppe zu besetzen gibt es

   $$\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3!}=35$$

   Möglichkeiten.

   Um die übrigen sechs Spieler in drei unterscheidbare Zweiergruppe aufzuteilen gibt es

   $$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot 1=90$$

   Möglichkeiten. Das entspricht einer Anordnung der drei Gruppen mit Reihenfolge. Drei verschiedene Gruppen kann man auf 3! = 6 Möglichkeiten anordnen, d.h. von den 90 Möglichkeiten sind immer 6 Möglichkeiten identisch. Man erhält daher insgesamt

   $$35\cdot \frac{90}{6}=35\cdot 15=525$$

   Möglichkeiten.

4. Aus den 22 Spielerinnen wählt man (”mit einem Griff“) 11 Spielerinnen aus. Die zweite Mannschaft ergibt sich automatisch. Da beide Mannschaften nicht unterscheidbar sind, muss noch durch 2 dividiert werden. Es gibt somit

   $$\frac{\left(\begin{array}{c}22\\ 11\end{array}\right)}{2}=352716$$

   Möglichkeiten.

Didaktischer Kommentar

• Klasse: 10
• Bezug zum Bildungsplan: ZVO, Daten
• Art der Aufgabe: herausfordernd

Die Aufgabe eignet sich zum parallelen Einsatz zu Schulbuchaufgaben und kann nach der Einführung des Binomialkoeffizienten eingesetzt werden.