Zufallsvariable / Erwartungswert

Eine Zufallsvariable X ist eine Abbildung von S in .
Mit  X = k wird das Ereignis bezeichnet, das aus allen Ergebnissen besteht, die auf k abgebildet werden.

Die Wahrscheinlichkeiten P(X = k) werden bei einer (diskreten) Verteilung X in einer Tabelle zusammengefasst, die man Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nennt.

Einführung an einer Spielsituation:
Ein Spieler setzt einen Euro und wirft einen Würfel dreimal. Für jede  6  erhält  1 € ausbezahlt.
Untersuche, wie viel man bei einem Spiel gewinnen oder verlieren kann.

Man untersucht für alle möglichen Würfe die “Variable”
Gewinn    X = Auszahlung - Einsatz.
Die Tabelle zeigt alle Möglichkeiten; zusätzlich sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten angegeben: die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. (Jedem Gewinn ist eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet).
Da die Variable X vom Zufall abhängt, nennt man sie Zufallsvariable .
Die Werte der letzten beiden Zeilen heißen Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
Bei dem obigen Spiel kann man fragen, ob das Spiel auf lange Sicht günstig oder ungünstig für den Spieler ist.
Bei z.B. 216  Spielen wird er (in €) insgesamt etwa den "Gewinn" 125∙(-1) + 75∙0 + 15∙ 1 + 1∙2 € = -108 erzielen.

Da man den durchschnittlichen Gewinn auf lange Sicht etwa erwarten kann, nennt man ihn Erwartungswert E(X) für den Gewinn X.

Allgemein:
Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei einer großen Zahl von Durchführungen des Zufallsversuchs für die Zufallsvariable zu erwarten ist.
Der Erwartungswert wird folgendermaßen berechnet:
1. Man bestimmt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen.
2. Man multipliziert jeden Wert der Zufallsvariablen mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiert die Produkte.

Bezeichnet man die Werte der Zufallsvariablen mit x ₁ , x ₂ , ... , x _n , so kann man E(X) mit der Formel   berechnen.