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Zahlensysteme - Lehrerversion

Teil A: Zahlensysteme in der Informationstechnik

In der Informationstechnik trifft man auf unterschiedliche Zahlensysteme. Alle diese Zahlensysteme basieren auf einem Vielfachen der Zahl zwei.

1.     Verschiedene Zahlensysteme

Dezimal
Basis 10
Dual
Basis 2
Oktal
Basis 8
Hexadezimal
Basis 16
0
0
0
0
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
17
10001
21
11
18
10010
22
12
19
10011
23
13
20
10100
24
14
21
10101
25
15
22
10110
26
16
23
10111
27
17
24
11000
30
18
25
11001
31
19
26
11010
32
1A
27
11011
33
1B
28
11100
34
1C
29
11101
35
1D
30
11110
36
1E
31
11111
37
1F
32
100000
40
20
33
100001
41
21
34
100010
42
22
35
100011
43
23
36
100100
44
24
37
100101
45
25
38
100110
46
26
39
100111
47
27
40
101000
50
28

Aufbau der Zahlensysteme

1.1  Dezimal: (Basis 10)

Die Zahl 1956 10 setzt sich wie folgt zusammen.

1 * 10 3     +       9 * 10 2     +     5 * 10 1 +     6 * 10 0

1 * 1000   +       9 * 100    +     5 * 10    +     6 * 1    => Summe ist gleich 1956 10

1.2  Dual: (Basis 2)

Die Zahl 1011 2 setzt sich wie folgt zusammen.

1 * 2 3       +     0 * 2 2   +     1 * 2 1     +     1 * 2 0

1 * 8        +     0 * 4    +     1 * 2      +     1 * 1    => Summe ist gleich 11 10

1.3  Oktal: (Basis 8)

Die Zahl 5307 8 setzt sich wie folgt zusammen.

5 * 8 3       +     3 * 8 2    +     0 * 8 1     +     7 * 8 0

5 * 512     +     3 * 64   +     0 * 8      +     7 * 1    => Summe ist gleich 2759 10

1.4  Hexadezimal: (Basis 16)

Die Zahl 17A3 16 setzt sich wie folgt zusammen.

1 * 16 3     +     7 * 16 2       +     A * 16 1    +     3 * 16 0

1 * 4096   +     7 * 256       +     10 * 16    +     3 * 1    => Summe ist gleich 6049 10

1.5  Übungen:

Wandle die folgenden Zahlen in das Dezimalsystem um.

110011000011 2 = 3267 10

5327 8 = 2775 10

5327 16 = 21287 10

3FE2 16 = 16354 10

1101100 8 = 295488 10

10110010 2 = 178 10


2.     Dezimalzahlen in unterschiedliche Zahlensysteme umwandeln

Es gibt unterschiedliche Wege wie man eine Dezimalzahl in ein anderes Zahlensystem umwandeln kann. Hier wird ein einfacher Algorithmus für die Umwandlung verwendet.

In diesem Algorithmus wird die Dezimalzahl durch die Basis des gesuchten Zahlensystems ganzzahlig dividiert und der dabei entstehende Rest aufgeschrieben.

2.1  Beispiel 1:

Die Dezimalzahl 1956 wird ins 2er-System umgewandelt

Gehe nach folgendem Verfahren vor:

1.    Teile 1956 mit Rest durch 2.
Ergebnis 978 mit einem Rest 0.

1956 : 2 =
978 : 2 =
489 : 2 =

978 Rest: 0
489 Rest: 0
244 Rest: 1

2.    Teile das Ergebnis aus 1. nach dem gleichen Verfahren.

244 : 2 =
122 : 2 =
61 : 2 =

122 Rest: 0
61 Rest: 0
30 Rest: 1

3.    Führe das Verfahren solange durch bis das Ergebnis 0 beträgt.

30 : 2 =
15 : 2 =
7 : 2 =
3 : 2 =
1 : 2 =

15 Rest: 0
7 Rest: 1
3 Rest: 1
1 Rest: 1
0 Rest: 1

Resultat: 11110100100 2


Beispiel 2:

Die Dezimalzahl 1956 wird ins 8er-System umgewandelt

Gehe nach folgendem Verfahren vor:

1.   Teile 1956 mit Rest durch 8.
Ergebnis 244 mit einem Rest 4.

1956 : 8 =
244 : 8 =

244  Rest: 4
30  Rest: 4

2.   Teile das Ergebnis aus 1. nach dem gleichen Verfahren

30 : 8 =

 3  Rest: 6

3.   Führe das Verfahren solange durch bis das Ergebnis 0 beträgt.

3 : 8 =

0   Rest: 3

Resultat: 3644 8


Beispiel 3:

Die Dezimalzahl 1956 wird ins 16er-System umgewandelt

Gehe nach folgendem Verfahren vor:

1.    Teile 1956 mit Rest durch 16.
Ergebnis 122 mit einem Rest 4.

1956 : 16 =

122  Rest:  4

2.   Teile das Ergebnis aus 1. nach dem gleichen Verfahren.

122 : 16 = 

7  Rest: 10

3.   Führe das Verfahren solange durch bis das Ergebnis 0 beträgt

7 : 16 =

0   Rest:  7

Resultat: 7A4 16


Übungen:

Wandle folgende Zahlen in das gewünschte Zahlensystem um:

a)   2015 10 => Dual
11111011111 2

b)  2015 10 => Oktal

3737 8

c)  2015 10 => Hexadezimal
7DF 16

d)   255 10 => Dual
11111111 2

e)  1025 10 => Oktal
2001 8

f)   2050 10 => Hexadezimal
4002 16


g)   2015 8 => Dual
10000001101 2

h)  2015 16 => Oktal
20025 8

i)   11010011 2 => Hexadezimal
D3 16

j)     11010011 2 => Oktal
323 8

k)  1025 8 => Hexadezimal
215 16

l)   7FAC 16 => Dual
111111110101100 2

m)   7FAC 16 => Oktal
77654 8

n)  7A4 16 => Dual
11110100100 2

o)  3644 8 => Dual
11110100100 2




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