Hinweise zu den Unterrichtsstunden und Materialien
Stunde 1 – 3: Wiederholung der Binomialverteilung:
Im ersten Teil einer Planarbeit soll in den Vorüberlegungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße (Sammelfiguren in Überraschungseiern) für eine relativ kleine Kettenlänge bestimmt werden. Dadurch wird gewährleistet, dass eventuell auch ein Baumdiagramm zur Lösung des Problems herangezogen werden kann. Mithilfe des eingeführten Schulbuchs oder auch des ausgelegten Infoblattes frischen die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse auf über:
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Bernoulli-Versuch, Bernoulli-Kette, Binomialverteilung, die Formel von Bernoulli
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Singuläre (Einzel-) und kumulierte Wahrscheinlichkeiten
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Erwartungswert und Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen
An die Bearbeitung von Umkehraufgaben zur Formel von Bernoulli (Bestimmen von k; n oder p) ist im Basisfach standardmäßig nicht gedacht. Solche Aufgaben können aber zur Differenzierung eingesetzt werden.
Im zweiten Teil steht das Betrachten und Interpretieren von Histogrammen sowie der Einfluss von Kettenlänge und Trefferwahrscheinlichkeit (und damit auch des Erwartungswertes) auf Lage und Form eines Histogramms im Vordergrund.
Je nach Bedarf schließen sich Übungen zu folgenden Themen an (eingeführtes Schulbuch):
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Überprüfung, ob eine Binomialverteilung angenommen werden kann
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Interpretation der Formel von Bernoulli
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Berechnung von P(X = k); P(X ≤ k); P(X ≥ k); P(k1 ≤ X ≤ k2)
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Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung
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Erstellen und Interpretieren von Histogrammen
Im dritten Teil soll der Übergang zum Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten mittels Flächen angebahnt werden. Hierzu werden bei einer Binomialverteilung die Trefferzahlen zu Intervallen zusammengefasst und dargelegt, dass nun die Fläche der Säule ausschlaggebend ist für die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit über einem Intervall.
Stunde 4 – 5: Einführung und erstes Anwenden der Normalverteilung:
In der ersten Phase bearbeiten die Schülerinnen und Schüler in Einzel-oder Partnerarbeit den Auftrag „It’s Teatime“ und erfahren so den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Verteilung. Sie lernen die Glockenkurve kennen und bestimmen in Aufgabe 3 der Erarbeitungsphase erste Wahrscheinlichkeiten für vorgegebene (Zeit-) Intervalle. Diese Aufgabe ist bewusst offen gestellt, so dass dies entweder anhand der gegebenen (diskreten) Wahrscheinlichkeitsverteilung oder anhand der Fläche unter der Glockenkurve erfolgen kann. Darauf sollte im anschließenden Unterrichtsgespräch eingegangen werden. Aufgabe 4 schließlich sensibilisiert für die Problematik, dass bei steigen Zufallsgrößen keine singulären (Einzel-) Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden können bzw. diese stets den Wert Null annehmen.
In der zweiten Phase werden zunächst die Ergebnisse vorgestellt, diskutiert und gebündelt. Abschließend werden die zentralen Begriffe der Stunde (Normalverteilung, Glockenkurve, stetig und diskret verteilte Zufallsgrößen) eingeführt und die Ergebnisse der Erarbeitungsphase werden gemeinsam im Plenum gesichert, insbesondere auch die Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten als Fläche unter der Glockenkurve zu veranschaulichen bzw. zu bestimmen.
Das neu Erarbeitete wird in der dritten Phase anhand einer Aufgabe eingeübt und vertieft. Den Abschluss dieser Übungsphase bildet eine aus dem gleichen Sachkontext stammende Teilaufgabe, welche die Anwendung der Binomialverteilung erfordert.
Nach dieser Einführung folgt nun eine Übungsphase zu folgenden Aufgabentypen:
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Abgrenzung binomial- / normalverteilte Zufallsgrößen
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Skizzieren der Glockenkurve eines annähernd normalverteilten Datensatzes
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Näherungsweises Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten durch Abschätzen des Flächeninhalts unter einer Glockenkurve
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Ggf. erster Einsatz des WTR zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen
Stunde 6: Einfluss der Kenngrößen auf die Form der Glockenkurve
Haben die Schülerinnen und Schüler in der vorangegangenen Stunde die Bedeutung der Glockenkurve zum Ermitteln von Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen erfahren, so sollen sie im nächsten Schritt in die Lage versetzt werden, die Glockenkurve anhand der Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung zu skizzieren.
In der Erarbeitungsphase ergänzen die Schülerinnen und Schüler in Einzel- oder Partnerarbeit einen Lückentext, in dem der Einfluss der Kenngrößen einer Normalverteilung auf die Form der Glockenkurve zusammengefasst wird. Sie entdecken die Zusammenhänge anhand von sechs Paaren, bei denen in der grundlegenden Version Glockenkurven einer Reihe von Kenngrößen zugeordnet sind. Zur Differenzierung kann auch noch eine Version auf erweitertem Niveau angeboten werden. Hier sind den Kenngrößen und Glockenkurven noch zusätzlich die Funktionsgleichungen zugeordnet. In beiden Versionen werden die Schülerinnen und Schüler auch aufgefordert, insbesondere den Bereich zu betrachten, so kann ggf. auf die 1-Sigma-Regel eingegangen werden.
In der Übungsphase bearbeiten die Schülerinnen und Schüler Aufgaben zum
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Ablesen von Erwartungswert und Standardabweichung aus Glockenkurven
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Beschreiben von Auswirkungen der Variation jeweils eines Parameters (μ bzw. σ) auf die Lage/Form der Glockenkurve
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Skizzieren von Glockenkurven bei gegebenen Kenngrößen
Hinweis: Der y-Wert des Hochpunkts kann mithilfe des WTR ermittelt werden
(CASIO: Normal-Dichte; TI: Normalpdf)
Je nach Bedarf und individueller Schwerpunktsetzung kann bereits in dieser Stunde das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten mithilfe des WTR erfolgen.
s. hierzu:
Hinweise zum Einsatz des Casio bzw.
Stunde 7: Ermitteln der Kenngrößen aus Datensätzen
Im letzten Schritt geht es nun darum, die Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung selbst zu ermitteln. Um hier den WTR nicht vollständig als „Blackbox“ zu verwenden, kann dies exemplarisch an einem überschaubaren Datensatz anhand der Definition erfolgen, in der Regel sollte hierfür aber der WTR als Hilfsmittel eingesetzt werden.
s. hierzu:
Hinweise zum Einsatz des Casio bzw.
Als Arbeitsform eignet sich die Planarbeit, da so die individuellen Vorerfahrungen und Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler in Bezug auf Algebra und Umgang mit dem WTR berücksichtigt werden können und ein Arbeiten im eigenen Tempo möglich ist.
Stunde 8 – 9: Untersuchung annähernd normalverteilter Zufallsgrößen
Die Schülerinnen und Schüler verfügen nun über sämtliche Grundlagen, um anwendungsbezogene Problemstellungen im Kontext normalverteilter Zufallsgrößen zu lösen. Spätestens zu Beginn dieser abschließenden Übungsphase sollte das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten auch mithilfe des WTR erfolgen.
s. hierzu:
Hinweise zum Einsatz des Casio bzw.
Bei der Übungsaufgabe „Schuhgrößen“ bietet sich auch eine Erhebung im eigenen Kurs an, um so z.B. auf Streuung und Stichprobenumfang einzugehen.
Es kann auch der Erwartungswert (Mittelwert) und die Standardabweichung der verhältnismäßig kleinen Stichprobe „unser Kurs“ ermittelt werden und mit den gegebenen Werten vergleichen werden.
Stunde 10 – 11: Komplexere Übungen oder mögliche Vertiefungen
Komplexere Übungen stellen z.B. anwendungsbezogene Problemstellungen dar, für deren Lösung sowohl die Binomial- als auch die Normalverteilung zur Modellierung herangezogen werden.
Bei der Übungsaufgabe „Körpergrößen“ bietet sich wieder eine Erhebung im eigenen Kurs an, allerdings sollte im Falle auffällig großer oder auffällig kleiner Schüler oder Schülerinnen sensibel vorgegangen werden.
Als mögliche Vertiefung eignet sich die Herleitung und Anwendung der Sigma-Regeln.
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