Kegelschnitte - Einführung

In der ersten Stunde sollen die Schülerinnen und Schüler (SuS) zunächst eine räumliche Vorstellung zu den Kegelschnitten und deren Klassifikation entwickeln, indem sie diese als Schnittfiguren von Doppelkegel und Ebene enaktiv entdecken und erforschen können. Im Rahmen eines Stationsbetriebs werden dabei je nach Klassengröße 5 bis 6 Stationen angeboten, wobei Stationen in größeren Lerngruppen auch doppelt vorhanden sein könnten. Die SuS erkunden in Kleingruppen verschiedene einfache Szenarien und beschreiben jeweils die reale Repräsentation der Schnittebene und des Kegels kurz mit ihren Worten. Dabei geht es nicht um Vollständigkeit oder Exaktheit, sondern um den Aufbau einer dynamischen Vorstellung, die durch die beteiligten Drehbewegungen motiviert wird und letztlich zur Unterscheidung der Kegelschnitte in Abhängigkeit der Drehwinkel führt. Details sind im Erwartungshorizont angegeben.

Nach dem offenen Stationsbetrieb bietet sich dann Aufgabe 2 zur Zusammenführung und Ergebnissicherung an. Die verschiedenen Kegelschnitte werden dabei in Abhängigkeit der beteiligten Neigungswinkel klassifiziert. Zur Differenzierung kann bei Aufgabe 2c) auch der zugehörige halbe Öffnungswinkel des Kegels thematisiert werden, der überlicherweise zur Unterscheidung herangezogen wird.

Optionaler Exkurs zur Vertiefung – Objekte im 3D-Koordinatensystem

Die Aufgaben 3 und 4 sind als Vertiefungsangebot gedacht. Sie können entweder als Einzelaufträge für interessierte SuS oder als Exkurs für die gesamte Lerngruppe genutzt werden. Mit Aufgabe 3 könnte man in einer hinführenden Unterrichtsphase mit GeoGebra algebraische Beschreibungen von Kegel und Ebene erarbeiten und dabei den Satz des Pythagoras räumlich interpretieren. Eine Erarbeitungsabfolge ergibt sich dabei direkt aus den Teilaufgaben a) und b). Mit dem Applet M10geo01_Nr3_Pythagoras_im_Kegel.ggb¹ kann die räumliche Interpretation in Teil b) zusätzlich visuell unterstützt werden:

Wie im Bild zu sehen ist, können mit dem Applet einzelne Schichten des Kegels als Kreise visualisiert werden, deren Spuren eingezeichnet werden, wenn man den Schieberegler z ("Höhe h") bewegt. Der Zusammenhang aus dem a)-Teil wird nun dynamisch interpretiert. Da die Mantellinien des Kegels einen Steigungswinkel von 45° zur Grundrissebene besitzen, entspricht die Höhe z der Schnittebene auch dem Radius des Schnittkreises. Mit zunehmender Höhe z wächst daher auch der Radius des zugehörigen Schnittkreises. Bei kontinuierlicher Zunahme von z ergibt sich so Schicht für Schicht ein Kegel bzw. Doppelkegel, wenn man den Vorgang auch nach unten fortsetzt.

Auf dieser Basis kann dann die Erstellung einer Basisversion des Applets mithilfe der Anleitung bei Aufgabe 4 in Partner- oder Einzelarbeit erfolgen. Die Datei lässt sich aufgrund ihrer einfachen Struktur auch direkt in der 3D-App von GeoGebra mit einem Smartphone erstellen.

Anmerkungen zur Wahl, Konzeption und Realisierung der Stationen

Zur Umsetzung des einführenden Stationenbetriebs können Sie sich Ihre Stationen aus dem nachfolgend beschriebenen Angebot zusammenstellen. Dabei werden die Stationen 1-6 (bzw. 1-5) als Basisstationen vorgeschlagen, die durch weitere Stationen ersetzt oder ergänzt werden können, in Abhängigkeit des jeweils möglichen Aufwands und der Gegebenheiten vor Ort.

Weiteren Ideen sind natürlich keine Grenzen gesetzt. Aus den nachfolgenden Materialien könnten Sie beispielsweise verschiedene Fadenkonstruktionen (vgl. 5. und 7. Stunde) oder Hüllkurvenkonstruktionen (vgl. Stunde 8) einbinden oder historische Zeichengeräte bauen². Vielleicht haben Sie auch an Ihrer Schule Ellipsenzirkel oder Exponate zu den bekannten Reflexionseigenschaften von Parabeln, Ellipsen oder Hyperbeln, die Sie einbinden können.

Bei einer "normalen" 45-minütigen Stunde sollte der Stationsbetrieb mit ca. 25 min nicht zu lange ausgedehnt werden. An jeder Station sollten ca. 5 min ausreichen, um nach einem ersten Zugang die Beobachtungen und Ergebnisse zu notieren, damit für die Ergebnissicherung am Ende ausreichend Zeit bleibt. Bei einer Doppelstunde und ausreichend Zeit in der Gesamtplanung könnte man auch die reizvolle räumliche Interpretation des Satzes des Pythagoras realisieren. Dabei könnten Sie auch auf die von Anselm Lambert veröffentlichten Anregungen zur Variation und dynamischen Interpretation des berühmten Satzes zurückgreifen³.

Abschließend folgen technisch-organisatorische Informationen zu den einzelnen Stationen.

Stationen 1-3: "Licht- und Schattenspiele"

Man muss sich geeignete Lampen besorgen und selbst im Vorfeld etwas Zeit zum Experimentieren investieren. Für Station 1 eignen kleine runde LED-Lämpchen wie auf dem Bild (links) deutlich besser als Teelichter. Die Lichtquelle ist bei den LED-Lämpchen zwar nicht genau in der Mitte des Zylinders, dafür ist der Lichtschein heller als bei einem Teelicht. Bei einem Teelicht kommt man zwar ohne Batterien aus, hat dafür aber ein größeres Sicherheitsrisiko und stark schwankende Helligkeit. Für Station 2 eignet sich eine normale Taschenlampe oder eine LED-Handlampe (rechts im Bild) aus dem Baumarkt. Für Station 3 eigenen sich Taschenlampen mit einem ringförmigen Plastikabschluss. Für die Fotos wurde ein kleines Lämpchen aus dem 1€-Laden verwendet, das eigentlich als LED-Lampenkorken eine Flasche beleuchten sollte.

Als Zylinder für Station 1 bieten sich die Innenrollen von Toilettenpapier an, die man ggf. noch außen bemalen oder mit Tonpapier bekleben kann. Für den kreisförmigen Schattenspender bei Station 2 kann man normalen Karton oder wie in den Bildern Bierdeckel einsetzen. Wenn SuS in Kleingruppen experimentieren, kann die Pappscheibe in Kooperation gehalten werden und die Fixierung mit einem Holzspies o.ä. ist nicht nötig.

Station 4 und 7: "Wasserspiele"

Station 4 ("Trichter im Wasser") lässt sich einfach bereitstellen. Man benötigt lediglich Wasser in einem ausreichend tiefen Gefäß und einen gewöhnlichen Zylinder aus Metall oder Plastik.

Station 7 ("Wasser im Trichter") ist nicht so nebenbei zu realisieren und bleibt daher wahrscheinlich den interessierten Handwerkerinnen und Handwerken vorbehalten. Aus diesem Grund wurde sie nicht auf den beiden ersten Seiten eingebunden, sondern erst bei den optionalen Stationen auf der dritten Zusatzseite. Sie bietet allerdings das intensivere "Kegelschnitterlebnis" und aus didaktischer Sicht reichhaltigere Anknüpfungspunkte, da man den verschlossenen Trichter im Raum vor sich drehen kann. So lässt sich beispielsweise die Symmetrie der Kegelschnitte zur Kegelachse leichter entdecken. Vor allem kann aber die besondere Grenzlage der Parabel eindrucksvoller erlebt werden, insbesondere wenn man sie als rote Grenzlinie auf dem äußeren Trichterrand markiert.

Für die Herstellung benötigt man neben einem Plastiktrichter (ca. 3-6€, je nach Mengenabnahme) transparentes Silikon (für den wasserdichten Abschluss) und eine Plastikscheibe, die man z.B. aus Plastikdeckeln von Aufbewahrungsboxen schneiden kann, die auch einzeln ohne Box erhältlich sind. Alternativ kann man auch transparente "Tiefziehfolien" verwenden, die sich mit der Schere schneiden lassen. Falls man die stabileren Plastikscheiben verwendet, muss man entweder "heiß schneiden" oder mit einer kleinen Säge (hier ein Multifunktionswerkzeug) wie im Bild einen Kreis aussägen. Nach dem Glätten der Schnittkante hat es sich bewährt, den Trichterrand zunächst mit reichlich Silikon auf der Plastikscheibe zu verkleben.

Der Trichter muss dabei entweder von oben ausreichend beschwert oder in einem Schraubstock eingespannt werden und die Verklebung sollte "über Nacht" trocknen, bevor (zuvor abgekochtes und abgekühltes) Wasser eingefüllt und der Trichter dann mit Silikon wasserdicht verschlossen wird. Mit der Wassermenge sollte man vorab experimentieren, um die gewünschte Wirkung zu erzielen. Alternativ kann man den Trichter wie im Bild auch mit einem konischen Korken bzw. Gummiverschluss verschließen. So ist der Trichter zwar nicht auf Dauer wasserdicht, kann aber jederzeit neu befüllt bzw. entleert werden.

Station 5: Virtuelle Schnitte

Diese Station erfordert einen PC oder ein Tablet. Das Applet M10geo01_A_Kegelschnitte.ggb kann entweder über die GeoGebra-Website im begleitenden GeoGebra-Book der Einheit aufgerufen oder vorab aufgespielt werden, falls GeoGebra auf dem Endgerät installiert ist.

Das Applet knüpft an die verschiedenen Zugänge an und stellt z.B. im Anschluss an die Wasserspiele eine virtuelle "Forschungsumgebung" zur Verfügung, in welcher die Schülerinnen und Schüler die Neigung der Schnittebene variieren und die Situation aus verschiedenen räumlichen Perspektiven betrachten können. Der jeweils entstehende Kegelschnitt wird hier bereits nach Typ unterschiedlich gefärbt, um den Zugang zu erleichtern. Wenn man dies nicht möchte, kann man die dynamische Farbgebung des Kegelschnitts löschen (unter Eigenschaften, im Register "Erweitert") oder alternativ eine zweite nicht eingefärbte Kurve erstellen und mit einem Kontrollkästchen die Auswahlmöglichkeit zwischen den Kurven realisieren.

Station 6: Geschnittene Kegel

Diese Station ermöglicht den SuS einen besonderen enaktiven Zugang, da sie selbst eigene Kegelschnitte durchführen können. Aufwand und Kosten bleiben bei frühzeitiger Bestellung in größeren Einheiten überschaubar. Kleinere Styroporkegel (z.B. h=12cm,. r=2,5cm) sind bereits für ca. 50-60ct pro Stück erhältlich, größere Kegel (h=25cm) kosten dagegen ca. 3-4€. Weiter ist es zu empfehlen, dass die Schule einen Heißdrahtschneider ("Styroporschneider") anschafft, der einen gespannten erwärmbaren Draht besitzt und glatte Schnitte ermöglicht.

An vielen Schulen dürfte ein solches Gerät auch bereits vorhanden sein. Entscheidet man sich hier für ein höherwertiges Gerät, sind auch schräge Schnitte möglich. Bei günstigeren Heißschneidern ist eine zusätzliche Führungsschiene zu empfehlen. Eine gerade Schnittführung des Styroporschneiders ist bei langen Schnitten ohne Führungsleiste sonst nur schwer realisierbar. Die rechts abgebildete Führungsleiste besteht aus einem Rundholzstab (14mm), der lotrecht in einem Holzbrett verleimt wurde. Am Holzstab kann man den Styroporschneider entlang führen und einen auf dem Holzbrett stehenden und von Hand fixierten Styroporkegel gut schneiden. Dabei lassen sich auch "schräge" Schnitte realisieren, wenn man den Kegel auf dem Brett entsprechend seitlich neigt. Wenn SuS gut im Team arbeiten, kann eine Führungsleiste auch von Hand fixiert werden, eine Unterkonstruktion wie im Bild wäre dann nicht erforderlich.

Station 8: Kugeln im Trichter

Die abgebildeten Trichter sind als "Fang- oder Geschicklichkeitsspiele" erhältlich. Der kleinere Trichter hat eine Gesamtlänge von ungefähr 18cm und kostet ca. 2,50 € pro Stück. Die "Jumbo"-Version hat eine Gesamtlänge von ca. 32cm und kostet ca. 5€ pro Stück. Aufwendiger ist die Suche nach geeigneten passenden Kugeln. Hier sollte man verschiedene Bälle testen, um fündig zu werden.

Hat man zwei geeignete Bälle gefunden, so muss man nur noch eine passende Papp-Ellipse herstellen. Dazu kann man die große und kleine Halbachse näherungsweise messen (oder berechnen) und mit einem DGS die zugehörige Ellipse samt Brennpunkten zeichnen (mit den Schiebereglern a und b als Halbachsen). Station 8 bereitet den Einsatz des Applets bei Station 9 vor, das man auch direkt einsetzen könnte, falls der Aufwand für Station 8 zu groß erscheint.

Station 9: Dandelinsche Kugeln

Wie bei Station 5 wird ein PC, Tablet oder ein Smartphone benötigt. Auch hier kann das Applet M10geo01_B_Dandelinsche_Kugeln.ggb entweder über die GeoGebra-Website im begleitenden GeoGebra-Book der Einheit aufgerufen oder vorab aufgespielt werden, falls GeoGebra auf dem Endgerät installiert ist. Das Applet ermöglicht Entdeckungen im Umfeld der Dandelinschen Kugeln. Mögliche Beobachtungsaufträge wurden auf dem Arbeitsblatt formuliert und samt Erwartungshorizont beschrieben. Die entstehenden Kegelschnitte wurden auch hier unterschiedlich gefärbt, um den Zugang zu erleichtern. Wenn man dies nicht möchte, kann man auch die dynamische Farbgebung des Kegelschnitts löschen oder eine zusätzliche ungefärbte Kurve einbinden.

 

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¹ Das Applet findet man im Materialpaket unter M03_geo/6_GeoGebra-Ergaenzung oder kann es auf der GeoGebra-Seite im Buch "IMP10 für Lehrkräfte" unter https://www.geogebra.org/m/jfeewf5p abrufen.

² Anregungen hierzu finden Sie z.B. bei der Beschreibung der 5. Stunde in den Erläuterungen zu Aufgabe 7, wo der Bau eines Parabelzeichners erläutert wird.

³ Anselm Lambert: "Eine Gleichung – viele Bilder", in mathematiklehren 216, Oktober 2019, S.40-42.

 

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