Die Kongruenz-Relation „Modulo m“
Das „Teilen mit Rest“ ist den Schülerinnen und Schülern letztmals in der Grundschule begegnet, aber erfahrungsgemäß ist die Tatsache an sich immer noch im Gedächtnis – wenngleich sicherlich nicht alle Schülerinnen und Schüler aus dem Stegreif heraus antworten können, wie die zugehörige systematische Berechnung durchzuführen ist.
Motivation und Einführung der Kongruenz-Relation „Modulo m“ (Stunde 1)
Unter den vielen relevanten Beispielen der Modulo-Operation im Alltag der Schülerinnen und Schüler nimmt die Anwendung im Bereich von Kalendertagen sicherlich eine herausragende Stellung ein. Überlegungen der Art, in wie vielen Tagen welcher Kalendertag ist oder ob der eigene Geburtstag im nächsten Jahr auf einen Samstag fällt, hat gewiss jeder schon einmal angestellt. Da das „Teilen mit Rest“ bereits seit der Grundschule bekannt, aber eventuell wieder ein wenig aus dem Gedächtnis gefallen ist, eignet sich für den Einstieg die Think-Pair-Share-Methode auf Seite 1 des AB „Die Kongruenzrelation Modulo m“. Im Anschluss daran beinhaltet die gleiche Datei auf der zweiten Seite einen mathematischen Text in der Art eines Schulbuches. Dieses kann auch ohne die vorangegangene Think-Pair-Share-Methode eingesetzt werden, um die Kongruenz-Relation Modulo m zu motivieren und definieren. Die Definition wird dabei schrittweise zunächst auf dem Zahlenbereich der natürlichen Zahlen und dann auf dem der ganzen Zahlen eingeführt. Dies hat den Hintergrund, dass das aus der Grundschule bekannte Teilen mit Rest nur auf der Menge der natürlichen Zahlen funktioniert. Für die Fortsetzung auf den Bereich der ganzen Zahlen wird dann die Ringdarstellung verwendet, welche eine didaktische Reduktion des fachlichen Hintergrunds „Restklassenring modulo m“ darstellt.
Übungen - sowohl innermathematisch, als auch mit Alltagsbezug (Stunden 2-3)
Die zur Verfügung gestellten drei Übungsblätter (02a_mgk_Kongruenzen-Übungen, 02b_mgk_Kongruenzen-Zeitangaben und 02c_mgk_Kongruenzen-Zahlentheorie) bieten eine Vielzahl an Übungsaufgaben. Es ist nicht daran gedacht, alle Aufgaben vollständig zu behandeln. Vielmehr sollte die unterrichtende Lehrkraft eine im Lerntempo und Schwierigkeitsniveau für die Lerngruppe geeignete Auswahl treffen. Inhaltlich wurden die Aufgaben in drei Bereiche unterteilt.
Das AB „Erste Übungen zu Kongruenzen“ (02a_mgk_Kongruenzen-Übungen) beinhaltet neben ersten grundlegenden Übungen (Aufgaben 1-3) auch solche, die das Nachvollziehen und beispielhafte Zeigen von mathematischen Eigenschaften der Kongruenz-Relation einfordert (Aufgaben 4-5). Hierbei sei insbesondere auf die Aufgabe 5 hingewiesen. Sie widmet sich der Teilbarkeitseigenschaft der Differenz zweier Zahlen, welche in vielen Fachbüchern als Definition verwendet wird (diese Eigenschaft ist beweisbar äquivalent zu „unserer“ Definition, welche für Schüler sicherlich zunächst besser nachvollziehbar ist).
Während die Aufgabenteile 6a bis 6d sich der wichtigen Frage widmen, wie man die Modulo-Operation mithilfe des WTRs durchführen kann, führt der Teil 6e hin zur Implementierung am Computer. Diese Aufgabe ist aus mathematischer Sicht inhaltlich nicht notwendig und somit als binnendifferenzierend zu werten. Sie bietet aber eine gute Gelegenheit zur Fächerverbindung mit der Informatik. Achtung: Die gängigen WTR-Modelle haben eine „Modulo-Funktion“ - diese ist manchmal allerdings in hinteren Menüstrukturen „versteckt“. Aufgewecke Schülerinnen und Schüler werden sie eventuell bereits bei der Aufgabenbearbeitung bemerken, worauf die Lehrkraft vorbereitet sein sollte. Ansonsten kann die Funktion nach Abschluss der Aufgabenbesprechung vorgeführt werden.
Abschließend steht in Aufgabe 7 eine innermathematische Möglichkeit zur Binnendifferenzierung zur Verfügung. Auf der zweiten Seite wurden noch weitere Aufgaben aus interessanten Anwendungsbereichen angehängt. Diese dienen als „Fundus bei Bedarf“ für die Lehrkraft.
Die Bestimmung von Wochentagen und Uhrzeiten nach einer gewissen Zeitspanne sind der thematische Leitfaden für die Aufgaben auf dem AB „Kongruenzen bei Zeit- und Datumsangaben“ (02b_mgk_Kongruenzen-Zeitangaben). Nach ersten zugehörigen „Fingerübungen“ in den Aufgaben 1 und 2 widmet sich die Aufgabe 3 der Verschiebung der Wochentage nach ein oder mehreren Jahren. Hierzu wird die Gaußsche Formel verwendet, mit deren Hilfe man den Wochentag eines jeden ersten Januars seit 1583 (erster 1. Januar nach der Einführung des Gregorianischen Kalenders) bestimmen kann. Sie gliedert sich in verschiedene „Modulo-Teile“. Dies hat den Hintergrund in den Regeln, wann jeweils ein Schaltjahr stattfindet (zunächst in jedem vierten Jahr, nicht aber den „Hunderter“-Jahren, sofern diese nicht durch 400 teilbar sind). Neben dieser Gaußschen Formel gibt es noch zahlreiche andere Methoden, um beliebige Wochentage zu bestimmen. Diese werden auf dem AB nicht verwendet, könnten aber eine Möglichkeit zur Vertiefung / Erweiterung sein, wenn man für diese Thematik mehr Zeit zur Verfügung stellen möchte.
Die Gemeinsamkeit der Aufgaben auf dem AB „Kongruenzen und besondere Zahlen“ (02c_mgk_Kongruenzen-Zahlentheorie) ist es, dass die Schülerinnen und Schüler bei diesen Aufgaben Eigenschaften von Zahlen / Regeln zur Modulo-Rechnung / … finden können und teilweise auch begründen können. Es gilt hier also in eher innermathematischen Kontexten ein „Gefühl“ für die Zahlen und die Kongruenz-Relation zu entwickeln und sich gleichzeitig im Begründen zu üben. Leistungsstarke Schülerinnen und Schüler, die die Begründung in Aufgabe 4 bewältigen können, kann man auch zusätzlich vor das „Problem“ stellen, zu beweisen, dass ungerade Quadratzahlen „sogar“ kongruent zu 1 mod 8 sind.
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