Extrem- und Wendestellen

Hier sind ohne unterrichtliche Reduktion die fachlichen Grundlagen für die Kriterien zur Extrembestimmung  dargestellt. Diese Darstellung soll sichtbar machen, dass man im Unterricht die Ansprüche an die fachliche Exaktheit und Vollständigkeit deutlich reduzieren muss.

Grundsätzlich wird vorausgesetzt, dass alle betrachteten Funktionen auf dem Definitionsbereich beliebig oft differenzierbar sind.

Folgende drei Definitionen sind die Grundlage:

Als Beweismittel benötigt man Hilfssätze. Für das erste Kriterium wird benötigt:

Beachte den Schluss vom offenen auf das geschlossene Intervall. Das wird für den formalen Beweis benötigt.
Beweis von Hilfssatz A:   Beweismittel: Mittelwertsatz (und damit Stetigkeit)

Also gilt wegen v-u > 0 auch f(v) –f(u) > 0 und damit f(v) > f(u).
(Genaue Voraussetzungen des Mittelwertsatzes: f ist auf [a;b] definiert und stetig und auf (a;b) differenzierbar)

Für das zweite Kriterium wird benötigt:

Dieser Hilfssatz ist ein Kriterium für einen VZW. Wird deshalb im Unterricht „Kriterium für VZW“  genannt.
Beweis von Hilfssatz B; Beweismittel: Definition Grenzwert einer Folge sowie der Ableitung.

Nebenbemerkung:
Der Hilfssatz B sagt nicht :
Wenn f(z) = 0 und f´(z) > 0, dann ist f in einer Umgebung von z streng monoton wachsend.
Gegenbeispiel:

In der Figur sind dazu die Einhüllenden y = x + 2x ² und  y = x - 2x ²  dargestellt. 

Dieses Beispiel und andere sind aus:
Danckwerts/Vogel: Analysis verständlich unterrichten, 1. Auflage. Berlin, Heidelberg Spektrum Akademischer Verlag, 2006, (u.a.) Seite 137.

Beweis von Satz 1: Beweismittel: Monotoniesatz
Zu zeigen: Es gibt eine Umgebung (z-h; z+h) von z mit f(x) > f(z) für alle x ∈(z-h;z+h).
Nach Definition 3 gilt: Es gibt eine Umgebung (z-h;z+h) mit h > 0 von z mit f ´(x) < 0 für alle x ∈(z-h;z) und f ´(x) > 0 und für alle x∈(z;z+h).
Nach dem Monotoniesatz ist f in [z-h;z] s.m.a. , also ist f(x) > f(z) = 0 für alle x ∈[z-h;z];
entsprechend ist f in [z;z+h] s.m.z. , also ist f(x) > f(z) = 0 für alle x ∈[z;z+h].
Beachte:  Der Beweis liefert eine Extremstelle im strengen Sinn.

Beweis von Satz 2: Beweismittel: Lokale Trennungseigenschaft
Nach Hilfssatz B hat f´ bei z einen Vorzeichenwechsel von – nach +.
Nach Definition 3 gibt es eine Umgebung von z mit f´(x) < 0 für alle x ∈(z-h;z) und
f´(x) > 0 für alle x∈(z;a+h). Mit Satz 1 folgt die Behauptung.

Für das Themengebiet Wendestellen geht es ohne ausführliche Beweise weiter.

Bemerkung:
Es gilt: Hat f an der Stelle z eine Wendestelle, dann hat f´ an der Stelle z eine Extremstelle.
Es gilt nicht : hat f´ an der Stelle z eine Extremstelle, dann hat f  an der Stelle z eine Wendestelle.
Gegenbeispiel (da gibt es nur ein „pathologisches“): Eine Funktion f, deren Ableitung das Gegenbeispiel 2 zu Satz 1 ist.
f´hat an der Stelle z = 0 eine Extremstelle. Die Funktion f kann bei z = 0 aber keine Wendestelle haben, da links und rechts z =0 kein einheitliches Monotonieverhalten von f´ vorliegt.

Beweis: Da f´´ an der Stelle z einen VZW hat, gilt o.B.d.A. : f´´(z) = 0 und f´´(x) < 0 für x < z ; f´´(x) > 0 für x > z. Nach dem Monotoniesatz folgt: f´ ist smf für x < z und sms für x > z. Damit hat f an der Stelle z eine Wendestelle.