Grundaufgaben

Aufgabentypen

1. Bekannt ist die Entscheidungsregel, d.h. K und ;
   zu berechnen ist das Risiko 1. Art (bzw. 2. Art).
2. Bekannt ist die Irrtumswahrscheinlichkeit ;
   zu berechnen ist der Annahme- und Ablehnungsbereich, also die Entscheidungsregel.
3. Bekannt ist die Irrtumswahrscheinlichkeit  und ein Versuchsergebnis.
   Zu untersuchen ist, ob die Nullhypothese aufgrund des Versuchsergebnisses angenommen oder abgelehnt wird (dazu bestimmt man K und  zur vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit .)

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Grundaufgaben Testen von Hypothesen – anschaulich und formal

Der Vertreter einer Kaffeemarke behauptet, dass mindestens 70 % aller Kunden, die Kaffee kaufen, die von ihm vertriebene Marke wählen.
Bei einer  Überprüfung wählen von 100 Kaffeehäusern nur 62 die Marke des Vertreters.

a) Lässt sich hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 10 % ein Widerspruch gegen die Behauptung des Vertreters herleiten?

Inhaltlich-anschauliche Argumentation

a) Trifft die Behauptung des Vertreters zu, dann ist die Anzahl der Kaffeehäuser, die die von dem Vertreter vertriebene Marke wählt, :

Die Wahrscheinlichkeit, dass 62 oder weniger Kaffeehäuser diese Marke wählen, beträgt dann nur etwa 5 %.

Dass nur 62 von 100 Kaffeehäusern diese Marke wählen, ist also ein Indiz gegen die Aussage des Vertreters.

Damit lässt sich mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von deutlich weniger als 10 % ein Widerspruch  gegen die Behauptung des Vertreters herleiten.

Formale Argumentation

Linksseitiger Signifikanztest:

Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als 10 % lässt sich ein Widerspruch zur Behauptung des Vertreters herleiten.

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Behauptung des Vertreters fälschlicherweise angenommen, wenn in Wirklichkeit nur 60% aller Kaffeehäuser die von ihm vertriebene Marke kaufen?

Inhaltlich-anschauliche Argumentation

b) Die Anzahl der Kaffeehäuser, die die von dem Vertreter vertriebene Marke wählt, ist nun :

Die Wahrscheinlichkeit, dass 63 oder mehr Kaffeehäuser die Marke des Vertreters wählen, beträgt dann etwa 31 %.

Somit wird die Behauptung des Vertreters mit einer Wahr­scheinlichkeit von etwa 31% fälschlicherweise angenommen.

Formale Argumentation

Bestimmung der Fehlers 2. Art:

b) Treffer bedeutet: Das Kaffeehaus wählt die Marke des Vertreters.
: Anzahl der Treffer.
Die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit beträgt .
ist .
Mit gilt für den Fehler 2. Art: .
Der GTR liefert:

Der Fehler zweiter Art beträgt .

Die Behauptung des Vertreters wird mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 31 % fälschlicherweise angenommen

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