Durchführung eines Tests
Entscheidungsregel
: Wie wählt man den Ablehnungsbereich
bzw. den Nichtablehnungsbereich K für H
0
?
X
K: HH
0
wird nicht abgelehnt
X
: HH
0
wird abgelehnt
|
Annahme von H 0 |
Ablehnung von H 0 |
H 0 wahr |
Richtig |
Falsch ( Fehler 1. Art ) |
H 0 falsch, d.h. H 1 wahr |
Falsch ( Fehler 2. Art ) |
Richtig |
Falls das Risiko 1. Art höchstens gleich einer vorgegebenen Zahl
sein soll,
so heißt
Irrtumswahrscheinlichkeit.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit
ist also die Wahrscheinlichkeit, mit der man die Hypothese H0 verwirft, obwohl sie wahr ist. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich liegt, und beträgt daher höchstens
.
Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit heißt
Signifikanzniveau.
Fehler 1. Art: Unter der Annahme, dass H
0
gilt, bestimmt
den Verwerfungsbereich.
Fehler 2. Art: Unter der Annahme, dass H
1
gilt, bestimmt
den Annahmebereich der Alternative.
Beide Fehler beurteilen die Qualität eines Tests.
1. Die
Entscheidungsregel
ist
vorgegeben
, d.h. K und
sind bekannt:
Je größer K gewählt wird, desto kleiner ist das Risiko 1. Art, da man bei großem K die wahre Hypothese H
0
(H
0
ist wahr beim Risiko 1. Art) nur selten ablehnen wird.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1.Art ist also gering.
Dagegen wird bei großem K für H
0
das Risiko zweiter Art groß, da die wahre Hypothese H
1
(H
1
ist wahr beim Risiko 2. Art) nur selten angenommen wird.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist also groß.
2. Die
Entscheidungsregel
ist
nicht vorgegeben
, d.h. K und
sind nicht bekannt:
K und
werden dann festgelegt durch die Vorgabe der
Irrtumswahrscheinlichkei
t
,
d.h. das Risiko 1. Art soll höchstens gleich
sein.
P(X
)
( bzw. P(X
K) >
= 1 -
) unter der Voraussetzung, dass H
0
wahr ist
Dabei kann man das Signifikanzniveau wählen:
Entscheidet man sich für das 5% - Niveau und ist
, dann muss man H
0
verwerfen.
Ist
, so wird man in der Regel H
0
nicht verwerfen.
Allerdings ist ein
-Wert zwischen 5% und 10% noch „verdächtig“.
Die Annahme oder Ablehnung von H
0
bedeutet nicht, dass H
0
wahr oder falsch ist, sondern nur, dass diese Entscheidung unter den gegebenen Umständen die zweckmäßigste war.