Prüfsummenverfahren und Paritätsprüfung
Nach der Wiederholung bekannter Codierungen kann in einem Unterrichtsgespräch diskutiert werden, was passieren könnte, wenn ein Code beispielsweise fehlerhaft (Kratzer auf einer CD) oder nicht mehr erkennbar bzw. verschmutzt ist (Barcode). Welche Reaktion kann man an einer Supermarktkasse erwarten, wenn der Scanner den EAN-13-Code nicht korrekt lesen kann? In der Regel muss der/die Kassierer/in den Code von Hand eingeben. Kann man sich dabei vertippen? Kann es zu Zahlendrehern kommen? Wird dann ein falsches Produkt eingelesen wird? Wie kann dies verhindert werden? Idealerweise kommen die Schülerinnen und Schüler auf die Idee, eine Quersumme zu bilden. Dieses ist ein sehr einfaches Verfahren, hat aber den Nachteil, dass Zahlendreher nicht erkannt werden können. Man kann aber diese Idee aufgreifen und zum Arbeitsblatt 01_duc_ab_pruefsumme_pruefbit überleiten.
1. Prüfsummenverfahren am Beispiel der EAN-13-Codierung
Die Schülerinnen und Schüler sollen hierbei anhand der gegebenen Beispiele zweier EAN-13-Codes die Berechnung der Prüfsumme selbst erkennen.
Die Prüfsumme eines EAN-13-Codes wird wie folgt berechnet: Jede der ersten 12 Ziffern wird abwechselnd mit dem Faktor 1 und dem Faktor 3 multipliziert. Anschließend wird aufsummiert und von diesem Ergebnis zur nächsten Zehnerzahl ergänzt. Dies ist die sogenannte Prüfziffer. Eine Modulo-Rechnung wird an dieser Stelle nicht erwartet.
Da der EAN-13-Code auf fast allen Schulmaterialien wie Bleistifte, Radiergummis, Schulhefte,… zu finden ist, können die Schülerinnen und Schüler an dieser Stelle experimentieren und prüfen. Beispielsweise kann auf der Internetseite https://www.pruefziffer.de/eantest.php4 (letzter Aufruf: 23.4.2018) ein EAN-13-Code validiert und zu den ersten 12 Ziffern eines EAN-13-Codes die fehlende Prüfziffer berechnet werden.
Interessant ist auch, dass bei der UIC-Kennzeichnung der Triebfahrzeuge auch ein Prüfsummenverfahren eingesetzt wird. Allerdings wird hierbei abwechselnd mit den Faktoren 1 und 2 multipliziert. Von den gewichteten Summanden werden nun allerdings ihre Ziffern addiert.
Für die Schülerinnen und Schüler kann auch die Codierung der Striche beim EAN-Strichcode interessant sein. Hierbei wird jede Ziffer durch ein Modul bestehend aus sieben vertikalen gleich großen Abschnitten dargestellt. Die Abschnitte werden nach einer Codierungsvorschrift entsprechend schwarz und weiß eingefärbt.
Güte der Verfahren mit Beispielen: Beim einfachen Quersummenverfahren wird zur Berechnung der Prüfziffer zu einer Ziffernfolge zunächst die Quersumme der Ziffern dieser Ziffernfolge gebildet und anschließend zur nächsten Zehnerzahl ergänzt.
Beispiel: Der Ziffernfolge 12345 wird demnach die Prüfziffer 5 angehängt, da 1+2+3+4+5=15 ist und 15 mit 5 bis zur nächsten Zehnerzahl 20 ergänzt wird. Somit lautet die Ziffernfolge inklusive der Prüfziffer 123455.
Da aber jede andere Reihenfolge dieser Ziffern wie 54321 oder 15243 auch zur gleichen Prüfziffer 5 führt, können mit diesem Verfahren zwar Einzelfehler, die sehr häufig vorkommen, erkannt werden, jedoch keine Zahlendreher, die genauso oft als Fehler vorkommen.
Um auch Zahlendreher als Fehler erkennen zu können, werden im einfachen Fall die Ziffern abwechselnd mit zwei unterschiedlichen Faktoren gewichtet. Anschließend wird wieder aufsummiert und zur nächsten Zehnerzahl ergänzt. Somit wird erreicht, dass die meisten Zahlendreher aufgedeckt werden können. Jedoch gibt es auch hier Einzelfälle, bei denen die Fehlererkennung dennoch nicht gelingt.
Beispiel: Die zu betrachtende Ziffernfolge lautet 1678 und es sollen die Gewichte 3 und 1 verwendet werden. Die gewichtete Quersumme beträgt 3 ∙ 1 + 1 ∙ 6 + 3 ∙ 7 + 1 ∙ 8 = 38. Demnach ist die Prüfziffer 2. Es werden nun die ersten beiden Ziffern der Ziffernfolge vertauscht, sodass nun die fehlerhafte Ziffernfolge 6178 lautet. Die gewichtete Quersumme beträgt in diesem Fall 3 ∙ 6 + 1 ∙ 1 + 3 ∙ 7 + 1 ∙ 8 = 48 und somit ist die Prüfziffer wieder 2 und der Fehler wird nicht erkannt.
Mithilfe zahlentheoretischer Kenntnisse können derartige Verfahren noch weiter verbessert werden.
2. Paritätsprüfung (Paritätsbit)
Die Paritätsprüfung ist ein Verfahren zur Fehlererkennung, das auf binären Codes basiert. Hierbei wird zu einer zu übertragenden Bitfolge als Prüfbit ein sogenanntes Paritätsbit angehängt. Ist eine gerade Parität vereinbart, so muss nach Anhängen des Paritätsbits die Summe aller Bits (inklusive des Paritätsbits) gerade sein. Ist eine ungerade Parität vereinbart, gilt entsprechend, dass die Summe aller Bits ungerade sein muss. Entspricht die Bitsumme nicht der vorgegebenen Parität, so liegt ein Übertragungsfehler vor. Sind allerdings zwei Bits fehlerhaft, so kann dies nicht zuverlässig erkannt werden. Umgekehrt kann man daher auch nicht ausschließen, dass eine scheinbar korrekt übertragene Bitfolge fehlerfrei ist. Eine Diskussion darüber kann bei Aufgabe 7 und 8 geführt werden.
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