Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln: Summen und Produkte

Quelle: ZGP IMP

Die Teilbarkeitsregel zum Teiler 6 ist eigentlich keine eigene Regel, sondern nutzt aus, dass in der 6 die Teiler 2 und 3 „versteckt“ sind. Solche Verstecke wecken natürlich das Interesse unserer Agenten. Leider sind aber nicht alle in dieser Art gebildeten Aussagen richtig. Kannst du ihnen helfen, die richtigen Aussagen herauszufinden?

Quelle: ZPG IMP

1. a.) Agent Mü kennt eine schöne Primzahl: Die 102 356 789. Wenn man diese rückwärts betrachtet, ergibt sich ebenfalls eine Primzahl, nämlich 987 653 201. Solche Zahlen nennt man MIRP-Zahlen – weshalb wohl¹? Aber Agent Mü hat ein ganz anderes Problem: Er hat 102 356 789 mit 18 multipliziert und das Ergebnis aufgeschrieben. Leider fehlt die letzte Ziffer auf seinem Blatt. Agentin Nü hat zwar keinen Taschenrechner zur Hand, aber eine Idee: „Wir wissen doch, dass eine Zahl die durch 18 teilbar ist, sowohl durch 2, als auch durch 9 teilbar ist. Damit ist die Sache doch klar.“ Was meint sie damit? Erkläre ihre Idee und führe sie durch, um die letzte Ziffer zu bestimmen. Die Zahl lautet – bis auf die letzte Ziffer – 1 842 422 20_ .

   Teilbarkeit durch 2

   (diese Überlegung ist zur Lösung letztlich unnötig, geht aber sekundenschnell):

   Die letzte Ziffer muss gerade sein, also fallen die Ziffern 1, 3, 5, 7 und 9 raus.

   Teilbarkeit durch 9:

   Die Quersumme muss durch 9 teilbar sein, sie beträgt 25 + x. Somit kann die Endziffer x nur die 2 sein.

   b.) Wieder ist die letzte Ziffer verloren gegangen. Dieses Mal wurde 2³⁶ berechnet. Bekannt ist nur noch: 2³⁶ = 6871947673x. Welche der Ziffern 0 bis 9 kann x sein und welche nicht? Gib eine begründete Aussage über möglichst viele der zehn Möglichkeiten an.

   2³⁶ → Direkt ersichtlich ist: Die Zahl muss durch 2 teilbar sein. Also kann x nur 0, 2, 4, 6 oder 8 sein.

   Die folgenden beiden weiteren Lösungswege setzen ein intuitives Verständnis für die Potenzrechengesetze voraus. Man kann aber auch durch die Schreibweise aus der geschriebenen Multiplikation aus 36 Faktoren „2“, die man in 18 „Zweiergrüppchen“ zu 18 Faktoren „4“ bündelt. Dies ist sicherlich nur in einer geführten Plenumsphase fragend-entwickelnd, oder von sehr leistungsstarken Schülerinnen und Schülern durchführbar.

   2³⁶ = 4¹⁸ → Die Zahl muss durch 4 teilbar sein. Also muss die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl „3x“ durch 4 teilbar sein. Somit kann es nur die Ziffer 2 oder die 6 sein.

   2³⁶ = 4^{18 = 89}

   → Die Zahl muss durch 8 teilbar sein. Also muss die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl „73x“ durch 8 teilbar sein Somit muss es die Ziffer 6 sein.

   Alternativ kann man über die Zerlegung in Primfaktoren argumentieren:

   

   c.)* Die Multiplikation aller natürlichen Zahlen von einer Startzahl n absteigend bis zur 1 nennt man Fakultät und kürzt sie mit n! ab (sprich:“ n Fakultät“). Zum Beispiel ist . Diese Zahlen werden schnell groß (z.B. 12! = 479 001 600). Ein WTR kann die Stellen schon bald nicht mehr vollständig anzeigen² . Finde dennoch die fehlenden Ziffern x und y der folgenden Gleichung heraus und erkläre deinen Lösungsweg:

   35! = 10 333 147 966 386 1x4 929 666 651 337 523 200 000 y00

   Das Produkt 35! besteht aus 35 Faktoren. Sechs davon beinhalten den Faktor 5 einmal (5, 10, 15, 20, 30, 35), der Faktor 25 beinhaltet die 5 sogar zweimal. Somit ist der Faktor 5 achtmal im Produkt enthalten. Der Faktor 2 ist noch häufiger enthalten, sodass aus den acht 5ern und acht der 2er genau acht 10er-Faktoren entstehen. Somit muss die Zahl auf acht Nullen enden, y ist also 0.

   Außerdem ist 35! durch alle Zahlen zwischen 1 und 35 teilbar. Darunter ist auch die 9, deren Teilbarkeitsregel sehr vielversprechend ist, da die Quersumme selten Spielraum für zwei verschiedene Ziffern belässt. Die 11er-Regel ist im Kopf sogar noch einfacher lösbar, da die alternierende Quersumme kleiner bleibt.

   Begründung mit 9er-Regel: Quersumme ist 140 + x. Diese muss durch 9 teilbar sein, dass ist nur der Fall, wenn x den Wert 4 annimmt.

   (wer geschickter vorgeht, addiert nicht alle Ziffern , sondern „ignoriert“ 9er und „9er-Päckchen“)

   Begründung mit der 11er-Regel: Die alternierende Quersumme beträgt -4. Somit muss die fehlende Ziffer 4 sein.