Der größte gemeinsame Teiler – ggT

Aufträge

1. Bestimme die folgenden größten gemeinsamen Teiler:

   a.) ggT(12; 18)= 6

   b.) ggT(15; 45)= 15

   c.) ggT(64; 96)= 32

   d.) ggT(65; 91)= 13

2. Die Primfaktorzerlegungen mehrerer Zahlen lassen sich geschickt vergleichen, wenn man gleiche Primfaktoren untereinander schreibt, z.B. für die Zahlen 300 und 630 so:

   

   a.) Führe dies für die Zahlen aus Aufgabe 1 durch. Schreibe dazu für jede Teilaufgabe die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen und des ggT in drei Zeilen untereinander. Überlege dir eine Regel, wie man aus den Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen auf deren ggT kommen kann, und schreibe sie auf.

   Regel: Wenn man die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen spaltenweise zusortiert aufschreibt, so erhält man die Primfaktorzerlegung des ggT, indem man die Faktoren verwendet, die in jeder Zeile einer Spalte vorkommen, alle anderen nicht.

   

   b.) Überprüfe deine Regel an weiteren Zahlenpaaren und deren ggT.

   Individuelle Lsg.

   c.) Bestimme den ggT(9000; 41 580)

   

3. Der rechteckige Balkon des Agenten-Hauptquartiers soll einen neuen Bodenbelag aus möglichst großen, quadratischen Fliesen bekommen. Dabei soll keine Fliese zerteilt werden. Wie groß sollten die Fliesen sein, wenn der Balkon 6,75m breit und 3,60m tief ist?

   ggT(675; 360) = 45

   → Die Fließen können eine maximale Größe von 0,45m Seitenlänge haben

4. * „Der ggT kann beim Kürzen von Brüchen sehr hilfreich sein.“

   Wie ist diese Aussage gemeint? Führe zunächst einige Versuche an kürzbaren Brüchen durch. Überlege dabei: Wie kann der ggT von Zähler und Nenner geschickt eingesetzt werden? Wie kann/ würde man ohne die Kenntnis dieses ggT vorgehen? Formuliere dann eine Vorgehensweise zum Kürzen von Brüchen, in der der ggT eingesetzt wird. Vergleiche dann die beiden Vorgehensweisen (Kürzen mit / ohne Ermittlung des ggT).

   Brüche kann man Kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Wenn sie mehrere Teiler haben, dann kann man den „erstbesten“ Teiler nehmen, der auffällt. Bei geraden Zahlen ist dies häufig die Zahl 2. Das Problem dabei ist, dass der so entstehende Bruch zwar gekürzt ist, sich aber nicht selten noch weiter kürzen lässt. Wenn man dagegen mit dem größten gemeinsamen Teiler kürzt, dann entsteht ein vollständig gekürzter Bruch.

   

kgV und ggT – Lösungen: Herunterladen [odt][2 MB]

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