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Dynamische Visualisierung mit Kongruenzabbildungen

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Datei: 03_geo_viviani_dynamisch_IV.ggb

Da geometrische Abbildungen im heutigen Geometrieunterricht nicht mehr vertieft behandelt werden, sollten Gelegenheiten wie diese genutzt werden, um den SuS zumindest eine tragfähige anschauliche Vorstellung verschiedener Abbildungen und ihrer Invarianten zu vermitteln. Dies könnte am Beispiel der Längeninvarianz von Drehung und Parallelverschiebung in diesem Kontext angesprochen werden.

P ist ein beliebiger Punkt im Innern oder auf dem Rand des Dreiecks ABC.

La und Lb sind Fußpunkte der Lote von P auf die Seiten a=BC bzw. b=AC des Dreiecks ABC.

Der Mittelpunkt M des oberen Kreises liegt „lotrecht über P“ auf der Parallelen zu AB durch C.

Viviani 06

Visualisierung in 3 Schritten:

  1. Die Strecke S=PLa wird um 60° gegen den UZS um P gedreht.

  2. Die Strecke t= PLb wird entlang PM parallel verschoben, bissie mit MN übereinstimmt (obere Seite des Parallelogramms PMNLb)

  3. Die Strecke MN wird um 120° gegen den UZS um M gedreht.

Die drei Strecken r, s, und t wurden dabei durch längeninvariante Abbildungen anschaulich gedreht und verschoben, um zu visualisieren, dass ihre Summe der Höhe h des Dreiecks ABC entspricht.

Dabei wurde aber der Mittelpunkt M so definiert, dass bereits PM = h – r gilt. Für den Beweis müsste daher noch gezeigt werden, dass auch PM = s + t gilt (bzw. dass der obere und der untere Kreis sich im Punkt S berühren). Das soll an dieser Stelle nicht weiter verfolgt werden, hier soll der anschauliche Zugang genügen.

Vertiefungsmöglichkeit: Der Fermatpunkt eines Dreiecks Der Satz von Viviani kann verwendet werden, um zu beweisen, dass der sog. Fermatpunkt der Punkt mit minimaler Abstandssumme zu den Ecken eines (spitzwinkligen) Dreiecks ist. 2 Dies lässt sich auch sehr eindrucksvoll mit einem „Seifenlaugenrechner“ experimentell bestätigen: Zwischen zwei Plastikplatten (z.B. CD-Hüllen) mit drei Schrauben als Eckpunkte bildet Seifenlauge eine Minimalfläche aus, deren Grundrissprojektion hier zu sehen ist.

 

1 „Toni Foster´s Proof of Viviani´s Theorem“, URL: https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/TonyFosterViviani.shtml (abgerufen: 21.5.2018). Entgegen der Überschrift der Website handelt es sich hierbei nicht um einen Beweis, sondern um einen anschaulichen Zugang, wie im Text ausgeführt wird.

2 s. UE43 „Der Fermatpunkt“, in Posamentier, Alfred: „Mathematik 119 Unterrichtseinheiten“, Klett-Verlag, Stuttgart, 1994. Der Beweisgang ist dokumentiert in UE44 „Der Punkt minimalen Abstands eines Dreiecks“.

 

Satz von Viviani – Lösungen: Herunterladen [odt][414 KB]

Satz von Viviani – Lösungen: Herunterladen [pdf][280 KB]

 

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