Beweis 3

¹

Idee: r+s+t wird durch Verschiebungen und Drehungen auf h_c visualisiert, r wird parallel zu AB verschoben, s, t werden auf Höhen des Dreiecks SQC abgebildet

Datei: 03_geo_viviani_Beweis_III.ggb

Vor.: ABC ist ein gleichseitiges Dreieck, P ist ein Punkt im Innern oder auf dem Rand des Dreiecks ABC. Die Abstände von P zu den drei Seiten werden mit r, s, t bezeichnet. D ist Lotfußpunkt der Höhe h_c des Dreiecks ABC.

z.z.: r + s + t = h_c

Vorbetrachtung:

Die Parallele zur Seite c=AB durch P schneidet AC in S , h_c in N und BC in Q.

Im Mittelpunkt stehen die gleichseitigen Dreiecke SPT und SQC, es gelten:

(1) QC || PT bzw. GL || PI (Grundseiten der Dreiecke sind parallel)

(2) I liegt auf der Gerade LS (S ist gemeinsame Ecke, LS gemeinsameSymmetrieachse)

(3) PH = IS (Höhen im Dreieck SPT sind gleich lang)

(4) LS = NC (ebenso im Dreieck SQC)

Beweis:

Aus (1) GP = LI (Verschiebung der Strecke GP parallel zu BC ).

Aus (2) PH = IS (Drehung der Höhe PH im Dreieck SPT)

Aus (1) und (2) GP+PH = LI + IS (Summe der beiden Strecken)

mit (4) und (3): LI+IS = LS = NC (entspricht den Höhen im Dreieck SQT)

aus (1)-(4) folgt: GP+PH = NC (5)

Abschluss: FP = DN (6) (Verschiebung der Strecke FP parallel zu AB)

aus (5) und (6) r+s+t = FP+GP+PH = DN+NC = DC = h_c (N liegt auf DC)

Mit der genannten Datei lässt sich der Beweisgang dynamisch visualisieren, die Parallelverschiebungen und Drehungen können animiert werden.

 

---

 

Satz von Viviani – Lösungen: Herunterladen [odt][414 KB]

Satz von Viviani – Lösungen: Herunterladen [pdf][280 KB]

 

Weiter zu Dynamische Visualisierung